3. 수학적 벡터

대수 구조

• 수 뿐 아니라 수를 대신할 수 있는 것을 대상으로 하는 집합
• 요약하자면 일련의 연산들이 주어진 집합

 

반군

• 집합과 결합법칙을 따르는 이항연산을 갖춘 대수 구조
• - 이항연산 : 두 개의 항으로 하나의 결과를 만드는 연산

 

모노이드

• 항등원을 갖는 반군 (덧셈은 0, 곱셈은 1)

 

군

• 집합, 이항 연산 하나 (예를 들면, {정수집합, +}와 같이 집합과 연산 하나를 갖는 모노이드 (모노이드 + 역원 개념)

 

아벨군(가환군)

• 교환법칙이 성립하는 군 (군 + 교환법칙 개념)

 

환

• 이항연산이 2종류가 부여된 것, 덧셈에 대하여 아벨군, 곱셈에 대하여 반군을 이루고 분배법칙이 성립하는 대수구조
• 예시로 {정수집합, +, *}

 

가군

• '환의 원소에 대한 곱셈'이 주어지며, 분배법칙이 성립하는 아벨군 (예시로 벡터 공간)

 

가환환

• 환에서 곱셈도 교환법칙을 만족하게된 환

 

나눗셈환

• 0을 제외한 모든 원소가 역원을 가진다 (자동으로 항등원 개념 추가됨)
• 원소의 개수가 둘 이상인 환(예시로 사원수)

 

체

• 가환환인 나눗셈 환, 즉 사칙연산이 자유로이 시행되고,
• 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 대수구조 (예시로 유리수, 실수, 복소수)

 

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벡터가 왜 가군으로 들어갔을까?

벡터 하나가 세상에서 유일하게 존재한다면? 의미가 있나?

벡터 요소인 방향은 보면 홀로 존재하는 것은 의미가 없고 다른 하나의 벡터가 존재할 때 그 벡터를 기준으로 방향이 정의될 수 있다.

 

어떤 벡터를 늘리거나 줄이는 것을 스칼라배라고 한다.

왜 실수배가 아닌 스칼라배라고 하냐?

체에는 실수집합이 아닌 다른 집합들이 있는데 실수배라고 정하면 다른 집합을 사용할 때 이름 정하기가 곤란해짐

 

 

 

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선형 생성

• 벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합
• S = {v₁, v₂, ... vₙ} 내의 벡터들로 가능한 모든 선형 결합으로 이루어진 V의 부분 벡터공간을 S의 선형 생성 span(S)라고 한다.
• 이 때 S가 span(S)를 선형 생성한다 라고 함

 

 

선형 독립

• S의 성분들에 kₙ을 곱한 값 k₁v₁ + k₂v₂ + ..., kₙvₙ = 영벡터라면,
• k₁ = k₂ = ... = kₙ = 0이다.
• 이럴 경우 S를 두고 선형 독립이라고 한다.
• 각 요소에 0을 곱해야만 0이 되는 경우를 뜻함

 

선형 종속

• k₁(1, 0) + k₂(0, 1) + k₃(1, 1)의 경우, 0을 곱하면 모두 0이 되는 것은 맞지만
• 0이 아닌 수를 곱해서 더해도 0이 된다. (k₃이 (-1, -1)인 경우)
• 이 경우 선형 종속이라고 한다.

 

S₂ = {(1, 0), (0, 1)} 의 경우

k₁(1, 0) + k₂(0, 1) = 영벡터

k₁은 x성분밖에 관여하지 못하고, k₂는 y성분밖에 관여하지 못하기 때문

그러므로 k₁ = k₂ = 0일 수밖에 없다.

 

 

 

 

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노름공간

• 노름이 부여된 벡터 공간
• 실수 또는 복소수 집합으로부터 요소를 받아와서 정의하는 공간

 

내적공간

• 벡터공간에 내적 연산이 추가된 것

 

 

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기저

• 벡터 공간 V의 부분집합 B가 선형 독립이고,
• V를 생성할 때, B를 V의 기저라고 한다.

 

B = {(1, 0), (0, 1)}

=> span(B₁) = IR²

B₁을 V의 기저라고 한다.

 

 

정규 기저

• 노름공간 V의 기저 B를 정규기저라고 함
• 모든 벡터들의 놈값이 1일 때 그 기저를 정규기저라고 한다.

 

직교기저

• 기저라는 집합에서 서로 다른 2개를 가져와서 두 요소의 내적 결과가 0이 나온다면? 그게 전체라면?
• 그건 직교기저임

 

정규직교기저

• 정규기저이자 직교기저인 내적공간의 기저를 정규직교기저라고 함
• {(1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1)}
• 이를 표준 기저라고도 한다.