2. 물리적 벡터

벡터란

• 벡터는 방향과 크기를 모두 갖는 것
• 화살표의 방향이 벡터의 방향이고 길이는 크기
• R²는 2차원 벡터공간을 의미함 = 평면

 

스칼라

• 벡터에서 방향을 빼고 크기만 가진 것을 스칼라라고 한다.
• 스칼라는 실수가 아니다(!)
• 스칼라를 실수로써 표현을 할 수 있다 정도로만 정리

 

벡터의 표현

• v(x, y)와 같이 표현하는데, 이건 점의 좌표가 아니라 변화량을 표시한 것
• 점의 좌표가 아니다!!(매우 중요)
• 벡터의 정의는 시점과 종점은 영향을 미치지 않는다.
• 크기와 방향이 중요하다.
• 화살표의 모양이 동일하면, 그 위치가 어떻든 동일한 벡터로 취급함
• 시점이 0,0이고 종점이 1, 2인 벡터 v와
• 시점이 -1, 1이고 종점이 0, 3인 벡터 d가 있다면
• 종점에서 시점을 뺀 게 변화량이고, 이를 계산해보면
• 0 - (-1), 3 - 1이 되고, 결과적으로 1, 2가 되어 v = d가 성립한다

 

영벡터

• 모든 성분이 0으로 이루어진 벡터

 

두 벡터가 같다는 말은 벡터의 모든 성분이 서로 같다는 것

 

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벡터의 연산

• 노름(놈, Norm)
• 벡터의 크기 또는 길이라고 함
• 표현할 때는 ||v||로 표현함
• 놈을 계산하는 것은 통상 피타고라스정리를 통해 계산 (빗변² = 밑변² + 높이²)

 

단위 벡터

• 놈이 1인 벡터를 단위 벡터라고 한다.
• 벡터의 각 요소를 크기(||v||)로 나눈 것
• 이 과정을 정규화라고 하며, 햇을 씌워준다고 함

 

표준 단위 벡터

• e1 = (1, 0, ..., 0)
• e2 = (0, 1, ..., 0)
• 단위 벡터 중 가장 기본이 되는 벡터를 의미함

 

 

선형 결합

• 벡터의 덧셈과 뺄셈
• v = (1, 2)
• w = (2, 1)
• v + w = (3, 3) = "x가 3만큼 이동할 때 y도 3만큼 이동한다~"

 

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스칼라곱, 점곱

• 한 벡터가 다른 벡터의 방향에 대해 가한 힘에 의해 변화된 스칼라(크기)
• 점곱 또는 내적이라고 부름
• v·w = ||v|| ||w|| cosθ
• cosθ를 곱하는 이유 = w라는 벡터가 v라는 벡터의 방향에 대해 어느 정도의 힘을 작용하느냐?
• 방향이 다를 경우 w를 2개의 벡터로 쪼개보는거임
• v 방향으로 가는 벡터를 a라고 놓는다면 a만큼만 곱해주는거임

 

코사인 법칙

• 삼각형에서 이웃한 두 변의 길이를 알고 있고, 그 사잇각을 알고 있으면 나머지 한 변의 길이를 알아낼 수 있다.
• 아니면 세 변의 길이를 모두 알고 있으면 모든 각을 알아낼 수 있다.

 

 

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가위곱

• 3차원 공간에서만 정의가 되며, 벡터곱, 외적으로도 불림
• 결과값으로 나오는 벡터는 아래의 성질을 갖는다.
• 1. 방향은 두 벡터에 동시에 수직인 방향
• 2. 크기는 두 벡터의 평행사변형 면적에 해당하는 크기를 갖는다.
• 곱하는 순서를 부여해줌으로써 위 또는 아래 방향이 정해짐(z축)